Question

已知正方形ABCD，邊長(zhǎng)為1，過(guò)D作PD⊥平面ABCD，且PD=2，E，F(xiàn)分別是AB和BC的中點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)AC到平面PEF的距離；
（2）求直線(xiàn)PB與平面PEF所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立如圖坐標(biāo)系，利用AC∥EF，可得直線(xiàn)AC到平面PEF的距離也即是點(diǎn)A到平面PEF的距離；
（2）平面PEF的法向量為

n

=（4，8，3），cos＜

PB

，

n

＞=

4+8-6

6 • 89

=

6 89

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：建立如圖坐標(biāo)系
（1）∵AC∥EF
∴直線(xiàn)AC到平面PEF的距離也即是點(diǎn)A到平面PEF的距離
又A（1，0，0）E（1，

1

2

，0）F（

1

2

，1，0）P（0，0，2）
∴平面的法向量為

n

=（1，2，

3

4

），
故

n0

=（

4

89

，

8

89

，

3

89

又

AE

=（0，

1

2

，0）
∴點(diǎn)A到平面PEF的距離為d=|

AE

•

n0

|=

4 89

89

∴直線(xiàn)AC到平面PEF的距離為

4 89

89

（2）設(shè)所求線(xiàn)面角為α，B（1，1，0），

PB

=（1，1，-2）
又（1）知平面PEF的法向量為

n

=（4，8，3），
cos＜

PB

，

n

＞=

4+8-6

6 • 89

=

6 89

故sinα=

6 89

∴cosα=

83 89

也即為所求值

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)AC到平面PEF的距離，考查直線(xiàn)PB與平面PEF所成角的余弦值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．