精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知正方形ABCD，邊長為1，過D作PD⊥平面ABCD，且PD=2，E，F分別是AB和BC的中點．
（1）求直線AC到平面PEF的距離；
（2）求直線PB與平面PEF所成角的余弦值．
考點：直線與平面所成的角,點、線、面間的距離計算
專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角
分析：（1）建立如圖坐標系，利用AC∥EF，可得直線AC到平面PEF的距離也即是點A到平面PEF的距離；
（2）平面PEF的法向量為
n
=（4，8，3），cos＜
PB
，
n
＞=
4+8-6
6
•
89
=
6
89
，即可得出結論．
解答： 解：建立如圖坐標系
（1）∵AC∥EF
∴直線AC到平面PEF的距離也即是點A到平面PEF的距離
又A（1，0，0）E（1，
1
2
，0）F（
1
2
，1，0）P（0，0，2）
∴平面的法向量為
n
=（1，2，
3
4
），
故
n0
=（
4
89
，
8
89
，
3
89

又
AE
=（0，
1
2
，0）
∴點A到平面PEF的距離為d=|
AE
•
n0
|=
4
89
89

∴直線AC到平面PEF的距離為
4
89
89

（2）設所求線面角為α，B（1，1，0），
PB
=（1，1，-2）
又（1）知平面PEF的法向量為
n
=（4，8，3），
cos＜
PB
，
n
＞=
4+8-6
6
•
89
=
6
89

故sinα=
6
89

∴cosα=
83
89
也即為所求值
點評：本題考查直線AC到平面PEF的距離，考查直線PB與平面PEF所成角的余弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}，其中a1=
1
2
，2an=an-1（n≥2）；等差數列{bn}，其中b3=2，b5=6．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）在數列{bn}中是否存在一項bm（m為正整數），使得 b3，b5，bm成等比數列，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=（cos（
π
2
-θ），sin（
π
2
-θ）），設
m
=
a
+（x2+3）
b
，
n
=-y
a
+x
b
，且滿足
m
⊥
n
．
（1）寫出y關于x的函數關系式y=f（x）；
（2）設函數g（x）=f（x）-ax在（-1，1）上單調遞減，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知動圓M恒過定點B（-2，0），且和定圓C：（x-2）2+y2=4外切，求動圓圓心M的軌跡．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知：如圖，⊙O和⊙O′相切于點A，直線AB和⊙O的另一個交點為B，和⊙O′的另一個交點為C，BD，CE分別切⊙O′，⊙O于點B，C．求證：BD∥CE．研究：兩圓外切時結論還成立嗎？

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=ax2-lnx，其中a＞
1
2
．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）設f（x）的最小值為g（a），證明：函數g（x）沒有零點．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知實數x，y滿足約束條件y≤x，x+2y≥-2，則s=（x+1）2+（y-1）2的最小值是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠B=
π
3

（1）若a=2，b=2
3
，求c的值；
（2）若tanA=2
3
，求tanC的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

求下列函數的定義域：
（1）y=
ln(5-x)
x-4

（2）y=log2（x2-3x+2）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案