在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且（2a+c）cosB+bcosC=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面積S的最大值．

解 （Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0
得2sinACcosB+sin（C+B）=0，
因為A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因為sinA≠0，
所以cosB=-，又B為三角形的內角，所以B=．
（Ⅱ）因為S=，由B=及a+c=4得S===，
又0＜a＜4，所以當a=2時，S取最大值 …（3分）
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的關系，通過兩角和與三角形的內角和，求出B的值；
（Ⅱ）通過S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面積S的表達式，通過平方法結合a的范圍求出面積的最大值．
點評：本題是中檔題，考查三角形面積的最值，三角形的邊角關系，三角函數(shù)的公式的靈活應用，考查計算能力．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c．滿足2acosC+ccosA=b．則sinA+sinB的最大值是（　�。�
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面積為10
3
cm2，周長為20cm，求此三角形的各邊長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面積S=
3
3
2
，求邊c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，A，B，C為三個內角，若cotA•cotB＞1，則△ABC是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x）函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經過如下三步變換得到的：
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個單位；
②將①中的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的
1
2
；
③將②中的圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍．
（1）求f（x）的周期和對稱軸；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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