已知離心率為的橢圓C:的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為E,直線EF截圓x2+y2=1所得弦長為
(1)求橢圓C的方程;
(2)過D(-2,0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,.試探究的取值范圍.
【答案】分析:(1)由,得c=b,直線EF的方程為:x-y=-b,由題意原點(diǎn)O 到直線EF的距離為,知b=1,a2=2,由此能求出橢圓C的方程.
(2)若直線l∥x軸,則A、B分別是長軸的兩個端點(diǎn),M在原點(diǎn)O處,=;若直線l與x軸不平行時,設(shè)直線l的方程為:x=my-2,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x,y),由得:(m2+2)y2-4my+2=0,由△=(-4m)2-8(m2+2)>0,知m2>2,,由此能推導(dǎo)出
解答:解:(1)由,得c=b,直線EF的方程為:x-y=-b,
由題意原點(diǎn)O 到直線EF的距離為,

∴b=1,a2=2,
∴橢圓C的方程是:.…(4分)
(2)①若直線l∥x軸,則A、B分別是長軸的兩個端點(diǎn),M在原點(diǎn)O處,
,
=.…(6分)
②若直線l與x軸不平行時,
設(shè)直線l的方程為:x=my-2,
并設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x,y),
,
得:(m2+2)y2-4my+2=0,(*)                          …(8分)
∵△=(-4m)2-8(m2+2)>0,
∴m2>2,
由(*)式得
==,
∵m2>2,
,

綜上,.…(14分)
點(diǎn)評:本題考查直線和橢圓的綜合應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易錯點(diǎn)是探究的取值范圍時因能力欠缺導(dǎo)致出錯,是高考的重點(diǎn).解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意提高解題能力.
練習(xí)冊系列答案
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(本小題滿分13分)已知離心率為的橢圓C的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,且點(diǎn)B在圓M上.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若過點(diǎn)A的直線l與圓M交于PQ兩點(diǎn),且,求直線l的方程.

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已知離心率為的橢圓C:過(1,
(1)求橢圓C的方程;
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已知離心率為的橢圓C:+=1(a>b>0)過點(diǎn)M(,1,O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)A、B為橢圓C上相異兩點(diǎn),且,判定直線AB與圓O:x2+y2=的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年天津市武清區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知離心率為的橢圓C:(a>b>0)與過點(diǎn)A(5,0),B(0,)的直線有且只有一個公共點(diǎn)M.
(1)求橢圓C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)是否存在過點(diǎn)M的直線l,依次交橢圓C、x軸、y軸于點(diǎn)N(異于點(diǎn)M)、P、Q,且滿足,若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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