Question

【題目】已知菱形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于一點 O，∠A=60°，將△BDC 沿著 BD 折起得△BDC'，連結(jié) AC'．

（Ⅰ）求證：平面 AOC'⊥平面 ABD；
（Ⅱ）若點 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直線 CD 與底面 ADC'所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵C′O⊥DB，AO⊥BD，C′O∩AO=O，∴BD⊥面 AOC'，

又BD平面 ABD，∴平面 AOC'⊥平面 ABD．

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，

令A(yù)B=a，則A（ ，0，0）．

B（0， ，0），D（0，﹣ ，0），C′（ ），

設(shè)面ADC'的法向量為

， ，

由 可取

∴直線 CD 與底面 ADC'所成角的正弦值為：

【解析】（Ⅰ）只需證明C′O⊥DB，AO⊥BD，C′O∩AO=O，BD⊥面 AOC'，即可得平面 AOC'⊥平面 ABD；
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，令A(yù)B=a，則A（，0，0）,B（0， ，0），D（0，﹣ ，0），C′（ ， 0 ， ）,利用向量法求解。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．