Question

設(shè)點P在以F₁、F₂為左、右焦點的雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，PF₂⊥x軸，|PF₂|=3，點D為其右頂點，且|F₁D|=3|DF₂|．
（1）求雙曲線C方程；
（2）設(shè)過點F₂的直線l與交于雙曲線C不同的兩點A、B，且滿足|OA|²+|OB|²＞|AB|²（其中 O為原點），求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得

b2

a

=3，a+c=3（c-a），且c²=a²+b²，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）當(dāng)AB⊥x軸時，

OA

•

OB

=-5，不合題意．當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè) l：y=k （x-2），由

y=k(x-2) 3x2-y2=3

，消去 y，整理得（3-k²） x²+4k²x-4k²-3=0．由此利用根據(jù)的判別式、韋達定理能求出直線l斜率的取值范圍．

解答： 解：（1）∵P在以F₁、F₂為左、右焦點的雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，
PF₂⊥x軸，|PF₂|=3，點D為其右頂點，且|F₁D|=3|DF₂|，
∴

b2

a

=3，a+c=3（c-a），且c²=a²+b²，
解得a=1，b=

3

，c=2．
∴雙曲線C的方程為x²-

y2

3

=1．
（2）設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|OA|²+|OB|²＞|AB|²，
有 0°＜∠AOB＜90°，∴0＜cos∠AOB＜1．
顯然，

OA

、

OB

不同向，∴

OA

•

OB

＞0，∴x₁x₂+y₁y₂＞0．
當(dāng)AB⊥x軸時，A（2，3），B（2，-3），

OA

•

OB

=-5，不合題意．
當(dāng)AB與x軸不垂直時，F(xiàn)₂（2，0），設(shè) l：y=k （x-2），
由

y=k(x-2) 3x2-y2=3

，消去y，整理得（3-k²） x²+4k²x-4k²-3=0．
則△=（4k²）²-4（3-k²） （-4k²-3）＞0，
整理，得k²＞0，且3-k²≠0，
x₁+x₂=-

4k2

3-k2

，x₁x₂=-

4k2+3

3-k2

．
由 x₁x₂+y₁y₂＞0，得 x₁x₂+k （x₁-2）k （x₂-2）＞0，
即（1+k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²＞0，
即-（1+k²）•

4k2+3

3-k2

+2k²•

4k2

3-k2

+4k²＞0，解得

3

5

＜k²＜3．
∴直線l斜率的取值范圍是（-

3

，-

15

5

）∪（

15

5

，

3

）．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．