Question

定義：對(duì)于兩個(gè)雙曲線C₁，C₂，若C₁的實(shí)軸是C₂的虛軸，C₁的虛軸是C₂的實(shí)軸，則稱C₁，C₂為共軛雙曲線．現(xiàn)給出雙曲線Γ₁：y=x+

1

x

和雙曲線Γ₂：y=x-

1

x

，其離心率分別為e₁，e₂．
（1）寫出Γ₁，Γ₂的漸近線方程（不用證明）；
（2）試判斷雙曲線Γ₁：y=x+

1

x

和雙曲線Γ₂：y=x-

1

x

是否為共軛雙曲線？請(qǐng)加以證明．
（3）求值：

1

e12

+

1

e22

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意，可得Γ₁，Γ₂的漸近線方程；
（2）雙曲線Γ₁：y=x+

1

x

和雙曲線Γ₂：y=x-

1

x

是共軛雙曲線，利用共軛雙曲線的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（3）由（2）可求值：

1

e12

+

1

e22

．

解答： 解：（1）Γ₁，Γ₂的漸近線方程分別為y=x和x=0；
（2）雙曲線Γ₁：y=x+

1

x

和雙曲線Γ₂：y=x-

1

x

是共軛雙曲線，證明如下：
雙曲線Γ₁：y=x+

1

x

的實(shí)軸所在的直線是y=x和x=0的角平分線所在直線為y=tan67.5°=（

2

+1）x，
虛軸所在直線為y=tan157.5°x=（1-

2

）x，
實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方d²=a12=2+2

2

，
∵

b1

a1

=tan22.5°=

2

-1，∴b12=2

2

-2，∴c12=4

2

．
同理雙曲線Γ₂：y=x-

1

x

的實(shí)軸、虛軸所在的直線y=（1-

2

）x，y=（

2

+1）x，
∴雙曲線Γ₁：y=x+

1

x

和雙曲線Γ₂：y=x-

1

x

是共軛雙曲線
（3）由（2）知

1

e12

=

2+2 2

4 2

，

1

e22

=

2 2 -2

4 2

，
∴

1

e12

+

1

e22

=2，．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查新定義，考查離心率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．