已知函數(shù)f(x)=x(x-a)(x-b),其中0<a<b.
(1)設f(x)在x=s和x=t處取得極值,其中s<t,求證:0<s<a<t<b;
(2)設A(s,f(s)),B(t,f(t)),求證:線段AB的中點C在曲線y=f(x)上;
(3)若數(shù)學公式,求證:過原點且與曲線y=f(x)相切的兩條直線不可能垂直.

解:(1)f(x)=x3-(a+b)x2+abx,∴f'(x)=3x2-2(a+b)x+ab=0的兩根為s,t,
令f'(x)=g(x),∵0<a<b,∴g(0)=ab>0,g(a)=a(a-b)<0,g(b)=b(b-a)>0,
故有0<s<a<t<b.
(2)設AB中點C(x0,y0),則,
故有,∴,

代入驗算可知C在曲線y=f(x)上.
(3)過曲線上的點(x1,y1)的切線的斜率是31x2-2(a+b)x1+ab,
當x1=0時,切線的斜率k1=ab;
當x1≠0時,,∴
∴切線斜率
,∴,∴k2>(ab-2)
∴k1k2=abk2>ab(ab-2)=(ab-1)2-1≥-1
∴k1k2≠-1,故過原點且與曲線相切的兩條直線不可能垂直.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)的極值點出導數(shù)為0,知,極值點是導數(shù)等于零的根,所以先求導,再解導數(shù)等于零,兩根為s,t,再判斷x=a,b時導數(shù)的正負,比較大小即可.
(2)求出AB的中點坐標,再代入y=f(x),判斷是否成立即可.
(3)如果兩條切線互相垂直,則斜率乘積等于-1,所以要證兩條切線不可能垂直,只需證明它們斜率之積不等于-1即可,利用曲線的切線斜率是該點處的導數(shù)來計算.
點評:本題主要考查導數(shù),切線極值 知識,屬于基礎知識,基本運算的考查.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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