解:(1)f(x)=x
3-(a+b)x
2+abx,∴f'(x)=3x
2-2(a+b)x+ab=0的兩根為s,t,
令f'(x)=g(x),∵0<a<b,∴g(0)=ab>0,g(a)=a(a-b)<0,g(b)=b(b-a)>0,
故有0<s<a<t<b.
(2)設AB中點C(x
0,y
0),則
,
故有
,∴
,
.
∴
.
代入驗算可知C在曲線y=f(x)上.
(3)過曲線上的點(x
1,y
1)的切線的斜率是3
1x
2-2(a+b)x
1+ab,
當x
1=0時,切線的斜率k
1=ab;
當x
1≠0時,
,∴
,
∴切線斜率
.
∵
,∴
,∴k
2>(ab-2)
∴k
1k
2=abk
2>ab(ab-2)=(ab-1)
2-1≥-1
∴k
1k
2≠-1,故過原點且與曲線相切的兩條直線不可能垂直.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)的極值點出導數(shù)為0,知,極值點是導數(shù)等于零的根,所以先求導,再解導數(shù)等于零,兩根為s,t,再判斷x=a,b時導數(shù)的正負,比較大小即可.
(2)求出AB的中點坐標,再代入y=f(x),判斷是否成立即可.
(3)如果兩條切線互相垂直,則斜率乘積等于-1,所以要證兩條切線不可能垂直,只需證明它們斜率之積不等于-1即可,利用曲線的切線斜率是該點處的導數(shù)來計算.
點評:本題主要考查導數(shù),切線極值 知識,屬于基礎知識,基本運算的考查.