已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，橢圓短軸長為
2
15
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點．
①若線段AB中點的橫坐標(biāo)為-
1
2
，求斜率k的值；
②若點M（-
7
3
，0），求證：
MA
•
MB
為定值．
分析：（Ⅰ）由
c
a
=
6
3
，2b=
2
15
3
及a2=b2+c2聯(lián)立即可解得a2，b2值；
（Ⅱ）（1）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消掉y得x的一元二次方程，由韋達(dá)定理得x1+x2=-
6k2
3k2+1
，再由AB中點的橫坐標(biāo)為-
1
2
，可得關(guān)于k的方程，解出即可；
（2）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算及韋達(dá)定理即可求得
MA
•
MB
為定值．
解答：解：（Ⅰ）因為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）滿足a2=b2+c2①，
由
c
a
=
6
3
②，2b=
2
15
3
③．聯(lián)立①②③，
解得a2=5，b2=
5
3
，
所以橢圓方程為
x2
5
+
y2
5
3
=1．
（Ⅱ）（1）將y=k（x+1）代入
x2
5
+
y2
5
3
=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，
△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，x1+x2=-
6k2
3k2+1
，
因為AB中點的橫坐標(biāo)為-
1
2
，所以-
6k2
3k2+1
=-
1
2
，解得k=±
3
3
，
（2）由（1）知x1+x2=-
6k2
3k2+1
，x1x2=
3k2-5
3k2+1
，
所以
MA
•
MB
=（x1+
7
3
，y1）（x2+
7
3
，y2）=（x1+
7
3
）（x2+
7
3
）+y1y2
=（x1+
7
3
）（x2+
7
3
）+k2（x1+1）（x2+1）
=（1+k2）x1x2+（
7
3
+k2）（x1+x2）+
49
9
+k2
=（1+k2）
3k2-5
3k2+1
+（
7
3
+k2）（-
6k2
3k2+1
）+
49
9
+k2=
4
9
；
點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及向量的數(shù)量積運算，考查學(xué)生的運算變形能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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