Question

已知橢圓C：=1 （a＞b＞0）與直線x+y-1=0相交于A，B兩點．
（1）當(dāng)橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數(shù)列時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，求弦AB的長度；
（3）當(dāng)橢圓的離心率e滿足≤e≤，且以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，求橢圓長軸長的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數(shù)列
∴2b²=a²+c²=a²+1
∵a²-b²=c²=1
∴a²=3，b²=2
∴橢圓的方程為=1；
（2）直線x+y-1=0與橢圓方程=1聯(lián)立，消去y可得5x²-6x-3=0，∴
∴弦AB的長度為=；
（3）直線x+y-1=0與橢圓方程：=1聯(lián)立，消去y可得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，
∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴2•-+1=0
∴b²=
∴c²=a²-b²=
∴=
∵橢圓的離心率e滿足≤e≤，
∴
∴
∴
∴橢圓長軸長的取值范圍為．
分析：（1）利用橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數(shù)列，建立等式，結(jié)合a²-b²=c²=1，即可求得橢圓的方程；
（2）直線x+y-1=0與橢圓方程=1聯(lián)立，消去y可得5x²-6x-3=0，再利用弦長公式，即可求得結(jié)論；
（3）直線x+y-1=0與橢圓方程：=1聯(lián)立，消去y，利用韋達定理及以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O，用a表示出離心率，結(jié)合橢圓的離心率e滿足≤e≤，即可求得橢圓長軸長的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題．