Question

20．在等比數(shù)列{a_n}中，a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=log₂$\frac{6}{{a}_{2n+1}}$，且{b_n}為遞增數(shù)列，若C_n=$\frac{1}{{_{n}b}_{n+1}}$，求證：C₁+C₂+C₃+…C_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）討論q=1，q≠1，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程即可得到q，和a₁，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得b_n=2n，化C_n=$\frac{1}{{_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，預(yù)計(jì)不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）∵a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$，
∴當(dāng)q=1時(shí)，S₃=3a₁=$\frac{9}{2}$，滿(mǎn)足條件，∴q=1．
當(dāng)q≠1時(shí)，a1q2=$\frac{3}{2}$，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=$\frac{9}{2}$，
解得a₁=6，q=-$\frac{1}{2}$．
綜上可得：a_n=$\frac{3}{2}$或a_n=6•（-$\frac{1}{2}$）^n-1；
（Ⅱ）證明：由題意可得b_n=log₂$\frac{6}{{a}_{2n+1}}$=log₂$\frac{6}{6•（-\frac{1}{2}）^{2n}}$=log₂2²ⁿ=2n，
則C_n=$\frac{1}{{_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
即有C₁+C₂+C₃+…C_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4（n+1）}$＜$\frac{1}{4}$．
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，考查了分類(lèi)討論方法、和不等式的證明，注意運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和和不等式的性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．