Question

【題目】已知.

（1）時，求的單調(diào)區(qū)間和最值；

（2）①若對于任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；②求證：

Answer 1

【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為，最小值為，無最大值；（2）①；②證明見解析.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，求導(dǎo)，可知導(dǎo)函數(shù)在上為增函數(shù)，觀察可知導(dǎo)函數(shù)的唯一零點為，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；

（2）①先推導(dǎo)出，由得出，然后證明出在恒成立即可，即可得出；

②利用①的結(jié)論及常見不等式容易得證．

（1）當(dāng)時，，則，

易知單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，.

所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，

函數(shù)的最小值為，無最大值；

（2）①必要性：若，則當(dāng)時，，不合乎題意，所以，必有.

又，則；

充分性：易知.

故只要證明在恒成立即可，

即，令，

則，

則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則.

故，因此，實數(shù)的取值范圍是；

②由①可知，要證，只需證，

先證明不等式，構(gòu)造函數(shù)，，

，令，可得.

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，，

所以，對任意的，.

，

故成立.