已知α∈R且α＜0，設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+x-3alnx．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，證明：f（x）≤2x-2．
（I）由f（x）=ax2+x-3alnx，得f′(x)=2ax+1-
3a
x
=
2ax2+x-3a
x
（x＞0）．
 令f′（x）=0解得x1=
-1-
1+24a2
4a
，x2=
-1+
1+24a2
4a
（舍）．
列表如下：
x （0，x1） x1 （x1，+∞）
f′（x） + 0 -
f（x） 增函數(shù) 減函數(shù)
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，
-1-
1+24a2
4a
）、遞減區(qū)間為（
-1-
1+24a2
4a
，+∞）
（II）證明：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），a=-1時(shí)，f（x）=x-x2+3lnx
設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx．
則g′(x)=-1-2x+
3
x
=-
(x-1)(2x+3)
x
．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0．
所以，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
而g（1）=0，故當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≤0．
即f（x）≤2x-2．
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相關(guān)習(xí)題

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已知M（-3，0）﹑N（3，0），P為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線PM與直線PN的斜率之積為常數(shù)m（m≥-1，m≠0）．
（1）求P點(diǎn)的軌跡方程并討論軌跡是什么曲線？
（2）若m=-
5
9
，P點(diǎn)的軌跡為曲線C，過點(diǎn)Q（2，0）斜率為k1的直線?1與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A﹑B，AB中點(diǎn)為R，直線OR（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為k2，求證k1k2為定值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)
QB
=λ
AQ
，且λ∈[2，3]，求?1在y軸上的截距的變化范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α∈R且α＜0，設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+x-3alnx．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，證明：f（x）≤2x-2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年廣東地區(qū)數(shù)學(xué)科全國各地模擬試題直線與圓錐曲線大題集 題型：044

已知R(－3，0)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足，．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求M點(diǎn)的軌跡C的方程；

(2)設(shè)A、B為軌跡C上兩點(diǎn)，N(1，0)，xA＞1，yA＞0，若存在實(shí)數(shù)λ，使，且，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省廣州六中高三（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知α∈R且α＜0，設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+x-3alnx．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，證明：f（x）≤2x-2．

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