Question

已知α∈R且α＜0，設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+x-3alnx．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a=-1時，證明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解出導(dǎo)函數(shù)的零點，由a＜0排除一個，然后由零點對定義域分段，根據(jù)不同區(qū)間段內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）把a=-1代入函數(shù)解析式，然后把要證的不等式作差后構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求構(gòu)造出的函數(shù)的最值，由函數(shù)最大值等于0證得不等式．

解答：（I）解：由f（x）=ax²+x-3alnx，得f′(x)=2ax+1-

3a

x

=

2ax2+x-3a

x

（x＞0）．
 令f′（x）=0解得x1=

-1- 1+24a2

4a

，x2=

-1+ 1+24a2

4a

（舍）．
列表如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增函數(shù)		減函數(shù)

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

-1- 1+24a2

4a

）、遞減區(qū)間為（

-1- 1+24a2

4a

，+∞）
（II）證明：f（x）的定義域為（0，+∞），a=-1時，f（x）=x-x²+3lnx
設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx．
則g′(x)=-1-2x+

3

x

=-

(x-1)(2x+3)

x

．
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當x＞1時，g′（x）＜0．
所以，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
而g（1）=0，故當x＞0時，g（x）≤0．
即f（x）≤2x-2．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是有一定難度題目．