Question

4．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①P，Q都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱，則稱（P，Q）是函數(shù)y=f（x）的一對(duì)“偶點(diǎn)”（偶點(diǎn)（P，Q）與（Q，P）看作同一對(duì)偶點(diǎn)），已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx-1，x≥0}\\{2{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$有兩對(duì)“偶點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-4-4$\sqrt{2}$）
• B． （-4+4$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （-4-4$\sqrt{2}$，-4+4$\sqrt{2}$）
• D． （0，-4+4$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 求出y=2x²+4x+3（x＜0）關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為y=2x²-4x+3（x＞0），令y=kx-1與y=2x²-4x+3（x＞0）有兩交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出k的臨界值即可得出k的范圍．

解答 解：y=2x²+4x+3（x＜0）關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為y=2x²-4x+3（x＞0），
∴f（x）有兩對(duì)偶點(diǎn)，
∴y=kx-1與y=2x²-4x+3在（0，+∞）上有兩個(gè)交點(diǎn)，
作出y=kx-1與y=2x²-4x+3的函數(shù)圖象，

設(shè)y=kx-1與y=2x²-4x+3相切，切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}-1}\\{{y}_{0}=2{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}+3}\\{4{x}_{0}-4=k}\end{array}\right.$，解得x₀=$\sqrt{2}$，y₀=7-4$\sqrt{2}$，k=4$\sqrt{2}$-4，
∴當(dāng)k＞4$\sqrt{2}$-4時(shí)，直線y=kx-1與y=2x²-4x+3有兩個(gè)交點(diǎn)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程根與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．