Question

19．已知$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x$，把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移$\frac{1}{2}$個單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，則（　　）

• A． g（x）為奇函數(shù)
• B． g（x）為偶函數(shù)
• C． g（x）在$[0，\frac{π}{3}]$上單調(diào)遞增
• D． g（x）的一個對稱中心為$（-\frac{π}{2}，0）$

Answer 1

分析 將f（x）化簡，根據(jù)平移變換的規(guī)律，求出g（x），結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項即可．

解答 解：由$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$．
把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，可得sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]$-\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$．再向上平移$\frac{1}{2}$個單位，
可得：sin（2x-$\frac{π}{6}$）=g（x）．
∵g（-x）=sin（-2x-$\frac{π}{6}$）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）≠-g（x）．∴A不對．
∵g（-x）=sin（-2x-$\frac{π}{6}$）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）≠g（x）．∴B不對．
令$-\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}$可得：$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，∴g（x）在$[0，\frac{π}{3}]$上單調(diào)遞增，∴C對．
當(dāng)x=$-\frac{π}{2}$時，可得f（$-\frac{π}{2}$）=sin（-π-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．∴$（-\frac{π}{2}，0）$不是對稱中心．∴D不對．
故選：C．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．