Question

17．已知函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³-ax²+x-5若函數(shù)在[2，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是a≤$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)得到f′（x）=x²-2ax+1，根據(jù)條件可得到f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，得到關(guān)于a的不等式組，這樣即可解出a的范圍，即得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵y=f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+x-5，
∴f′（x）=x²-2ax+1；
∵f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)；
∴f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立；
∴△=4a²-4≤0，或$\left\{\begin{array}{l}{△={4a}^{2}-4＞0}\\{a≤2}\\{f′（2）=5-4a≥0}\end{array}\right.$；
解得-1≤a≤1，或a≤$\frac{5}{4}$；
∴a≤$\frac{5}{4}$；
故答案為：a≤$\frac{5}{4}$．

點評 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系，基本初等函數(shù)的求導(dǎo)，二次函數(shù)符號和判別式△的關(guān)系，要熟悉二次函數(shù)的圖象．