Question

17．平面上，點A、C為射線PM上的兩點，點B、D為射線PN上的兩點，則有$\frac{{{S_{△PAB}}}}{{{S_{△PCD}}}}=\frac{PA•PB}{PC•PD}$（其中S_△PAB、S_△PCD分別為△PAB、△PCD的面積）；空間中，點A、C為射線PM上的兩點，點B、D為射線PN上的兩點，點E、F為射線PL上的兩點，則有$\frac{{{V_{P-ABE}}}}{{{V_{P-CDF}}}}$=$\frac{PA•PB•PE}{PC•PD•PF}$（其中V_P-ABE、V_P-CDF分別為四面體P-ABE、P-CDF的體積）．

Answer 1

分析 設(shè)PM與平面PDF所成的角為α，則兩棱錐的高的比為$\frac{PA}{PC}$，底面積比為$\frac{PB•PE}{PD•PF}$，根據(jù)棱錐的體積公式即可得出體積比．

解答 解：設(shè)PM與平面PDF所成的角為α，
則A到平面PDF的距離h₁=PAsinα，C到平面PDF的距離h₂=PCsinα，
∴V_P-ABE=V_A-PBE=$\frac{1}{3}{S}_{△PBE}•{h}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PB×PE×sin∠NPL×PAsinα$，
V_P-CDF=V_C-PDF=$\frac{1}{3}{S}_{△PDF}•{h}_{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PD×PF×sin∠NPL×PCsinα$，
∴$\frac{{V}_{P-ABE}}{{V}_{P-CDF}}$=$\frac{PA•PB•PE}{PC•PD•PF}$．
故答案為：$\frac{PA•PB•PE}{PC•PD•PF}$．

點評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征和體積計算，屬于中檔題．