Question

6．已知函數(shù)$f（x）=lnx-{x^2}+f'（\frac{1}{2}）•\frac{x+2}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：$（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）f（x）＜2{e^x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+\frac{1}{2}f'（{\frac{1}{2}}）$，通過解$f'（{\frac{1}{2}}）=2$，判斷導函數(shù)的符號，求解函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅱ）不等式$（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）f（x）＜2{{e}^x}$等價于$f（x）＜\frac{{2{{e}^x}}}{{\frac{1}{2}{x^2}+x+1}}$，由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（x）_max=f（1）=2，推出f（x）≤2，令$g（x）={{e}^x}-（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）\;\;\;（x＞0）$，利用導函數(shù)的單調(diào)性以及最值推出$\frac{{{{e}^x}}}{{\frac{1}{2}{x^2}+x+1}}＞1$，證明結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+\frac{1}{2}f'（{\frac{1}{2}}）$
則$f'（{\frac{1}{2}}）=2-1+\frac{1}{2}f'（{\frac{1}{2}}）$，解得$f'（{\frac{1}{2}}）=2$，所以f（x）=lnx-x²+x+2．此時，$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+1=\frac{{-2{x^2}+x+1}}{x}$，由f'（x）＞0得0＜x＜1，f'（x）＜0得 x＞1，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅱ）證明：不等式$（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）f（x）＜2{{e}^x}$等價于$f（x）＜\frac{{2{{e}^x}}}{{\frac{1}{2}{x^2}+x+1}}$，
由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（x）_max=f（1）=2，
所以f（x）≤2①，
令$g（x）={{e}^x}-（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）\;\;\;（x＞0）$，所以g'（x）=e^x-x-1，（g'（x））′=e^x-1，所以，
當x＞0時，（g'（x））′＞0，
所以g'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g'（x）＞g'（0）=0，
所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）＞g（0）=0，即${{e}^x}-（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）＞0$，
因為x＞0，所以$\frac{{{{e}^x}}}{{\frac{1}{2}{x^2}+x+1}}＞1$，
所以，x＞0時，$（\frac{1}{2}{x^2}+x+1）f（x）＜2{{e}^x}$．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．