【題目】已知二次函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）設函數(shù)，記為函數(shù)極大值點，求證： .

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論 的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；

（2）由題

則，此時，討論的單調性可得， 在處取得極大值，則一定有個零點，分別是的極大值點和極小值點.

設是函數(shù)的一個極大值點，則

所以， ，由所以，

此時可證明.

試題解析：（1）

當時， 在上恒正；

所以， 在上單調遞增

當時，由得，

所以當時， 單調遞減

當時， 單調遞增.

綜上所述，

當時， 在上單調遞增；

當時，

當時， 單調遞減；

當時， 單調遞增.

（2）

則

令的

當時， 為增函數(shù)；

當時， 為減函數(shù)；

所以， 在處取得極大值，

一定有個零點，分別是的極大值點和極小值點.

設是函數(shù)的一個極大值點，則

所以，

又

所以，

此時

所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓關于直線對稱的圓為．

（1）求圓C的方程；

（2）過點（1，0）作直線l與圓C交于A，B兩點，O是坐標原點，是否存在直線l，使得∠AOB=90°？若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)某農產品近幾年的產量統(tǒng)計如表：

年份

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年份代碼

1

2

3

4

5

6

年產量（萬噸）

6.6

6.7

7

7.1

7.2

7.4

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關于的線性回歸方程；

,

（2）若近幾年該農產品每千克的價格（單位：元）與年產量滿足的函數(shù)關系式為，且每年該農產品都能售完.

①根據(jù)（1）中所建立的回歸方程預測該地區(qū)2019（）年該農產品的產量；

②當為何值時，銷售額最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．

（1）證明：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，使得平面？說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中小學生的視力狀況受到社會的廣泛關注，某市有關部門從全市6萬名高一學生中隨機抽取了400名，對他們的視力狀況進行一次調查統(tǒng)計，將所得到的有關數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.從左至右五個小組的頻率之比依次是.

（1）抽取的400名學生中視力在范圍內的學生約有多少人？

（2）如果視力達到5.0以上算正常，用樣本估計總體，求全市高一學生中視力正常的學生有多少人？

（3）從第4組和第5組的學生中按分層抽樣的方式抽取樣本容量為8人的樣本，再從樣本中隨機抽取2人進行問卷調查，請求出2人來自同一組的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最小正周期為，且點是該函數(shù)圖象的一個最高點.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的單調增區(qū)間；

（3）若，求函數(shù)的值域.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知下圖中，四邊形 ABCD是等腰梯形， ， ， 于M、交EF于點N， ， ，現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折起，記折起后C、D為、且使，如圖示．

(Ⅰ)證明： 平面ABFE；,

(Ⅱ)若圖6中， ，求點M到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5），[0.5,1），[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（I）求直方圖中的a值；

（II）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下表數(shù)據(jù)為某地區(qū)某種農產品的年產量（單位：噸）及對應銷售價格（單位：千元/噸）．

1

2

3

4

5

70

65

55

38

22

（1）若與有較強的線性相關關系，根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；

（2）若該農產品每噸的成本為13.1千元，假設該農產品可全部賣出，利用上問所求的回歸方程，預測當年產量為多少噸時，年利潤最大？

（參考公式：回歸直線方程為，其中）

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