Question

19．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、E₁、F分別是棱AD、AA₁、AB的中點(diǎn)．
（1）判斷平面ADD₁A₁與平面FCC₁的位置關(guān)系，并證明；
（2）證明：直線EE₁∥平面FCC₁．

Answer 1

分析 （1）由直四棱柱性質(zhì)得DD₁∥CC₁，再推導(dǎo)出四邊形AFCD是平行四邊形，從而AD∥CF，由此能證明平面ADD₁A₁∥平面FCC₁．
（2）由平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，能證明直線EE₁∥平面FCC₁．

解答 解：（1）平面ADD₁A₁∥平面FCC₁．
證明如下：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，∴DD₁∥CC₁，
∵AB∥CD，AB=4，CD=2，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，∴AF$\underset{∥}{=}$CD，
∴四邊形AFCD是平行四邊形，∴AD∥CF，
∵AD∩DD₁=D，CF∩CC₁=C，
∴平面ADD₁A₁∥平面FCC₁．
證明：（2）∵平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，
EE₁?平面ADD₁A₁，
∴直線EE₁∥平面FCC₁．

點(diǎn)評 本題考查面面位置關(guān)系的判斷并證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．