【題目】已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為.直線和兩條漸近線交于點(diǎn),點(diǎn)在第一象限且,是雙曲線上的任意一點(diǎn).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)是否存在點(diǎn)P使得為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的個(gè)數(shù);

(3)直線與直線分別交于點(diǎn),證明:以為直徑的圓必過定點(diǎn).

【答案】(1) ;(2)4個(gè);(3)證明過程見解析.

【解析】

(1)根據(jù),可知,根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù),求出,這樣可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)分類討論以三點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)能否構(gòu)成直角三角形,最后確定點(diǎn)P的個(gè)數(shù);

(3)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)三點(diǎn)共線,結(jié)合斜率公式可以求出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可求出以為直徑的圓,最后根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可以判斷出該圓所過的定點(diǎn).

(1)因?yàn)?/span>,所以,雙曲線的漸近線方程為:,由題意可知:

,所以,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:;

(2)因?yàn)橹本的斜率為,所以與直線垂直的直線的斜率為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為:,則有.

當(dāng)時(shí),所以,解得此時(shí)存在2個(gè)點(diǎn);

當(dāng)時(shí),所以,,解得,此時(shí)存在2個(gè)點(diǎn);

當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)是以線段為直徑圓上,圓的方程為:,與雙曲線方程聯(lián)立,無實(shí)數(shù)解,

綜上所述:點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4個(gè);

(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,.

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線,所以直線的斜率相等,

因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線,所以直線的斜率相等,, 所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為:

,所以以為直徑的圓的方程為:,

,因此該圓恒過兩點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系,以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),點(diǎn)時(shí)曲線上兩點(diǎn),點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為,.

1)寫出曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程;

2)求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng),對(duì)任意的,都有,數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.

1)求實(shí)數(shù)的值;

2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求所有正整數(shù)的值,使得恰好為數(shù)列中的項(xiàng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】中,角,的對(duì)邊分別為,,,已知.

1)若,的面積為,求,的值;

2)若,且角為鈍角,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù),且.

1)若是奇函數(shù),求的取值集合;

2)當(dāng)時(shí),設(shè)的反函數(shù),且的圖象與的圖象關(guān)于對(duì)稱,求的取值集合

3)對(duì)于問題(1)(2)中的、,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知有窮數(shù)列共有項(xiàng),且.

1)若,,,試寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列;

2)若,求證:數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是

3)若,則所有可能的取值共有多少個(gè)?請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義:直線關(guān)于圓的圓心距單位圓心到直線的距離與圓的半徑之比.

1)設(shè)圓,求過點(diǎn)的直線關(guān)于圓的圓心距單位的直線方程.

2)若圓軸相切于點(diǎn),且直線關(guān)于圓的圓心距單位,求此圓的方程.

3)是否存在點(diǎn),使過點(diǎn)的任意兩條互相垂直的直線分別關(guān)于相應(yīng)兩圓的圓心距單位始終相等?若存在,求出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)集合由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列構(gòu)成:①②存在實(shí)數(shù)使對(duì)任意正整數(shù)都成立.

1)現(xiàn)在給出只有5項(xiàng)的有限數(shù)列其中;試判斷數(shù)列是否為集合的元素;

2)數(shù)列的前項(xiàng)和為且對(duì)任意正整數(shù)點(diǎn)在直線上,證明:數(shù)列并寫出實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)設(shè)數(shù)列且對(duì)滿足條件②中的實(shí)數(shù)的最小值都有求證:數(shù)列一定是單調(diào)遞增數(shù)列.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】“劍橋?qū)W派”創(chuàng)始人之一數(shù)學(xué)家哈代說過:“數(shù)學(xué)家的造型,同畫家和詩人一樣,也應(yīng)當(dāng)是美麗的”;古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來美;我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造了優(yōu)美“弦圖”.“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為,則等于(

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案