Question

10．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線y=$\frac{1}{2}$被橢圓E截得的線段長為$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=mx+$\frac{1}{2}$對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題設(shè)得，橢圓過點(diǎn)$（{\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，代入橢圓方程，結(jié)合離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得橢圓方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）易得知m≠0，可設(shè)直線AB的方程為$y=-\frac{1}{m}x+b$．代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)得，橢圓過點(diǎn)$（{\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{3}{{2{a^2}}}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）易得知m≠0，可設(shè)直線AB的方程為$y=-\frac{1}{m}x+b$．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{m}x+b}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$消去y得$（\frac{1}{2}+\frac{1}{m^2}）{x^2}-\frac{2b}{m}x+{b^2}-1=0$•
因?yàn)橹本�y=mx+$\frac{1}{2}$與橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
所以$△=-2{b^2}+2+\frac{4}{m^2}＞0$•①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理知，${x_1}+{x_2}=\frac{4mb}{{{m^2}+2}}$，
于是線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為$M（\frac{2mb}{{{m^2}+2}}，\frac{{{m^2}b}}{{{m^2}+2}}）$，
將其代入直線$y=mx+\frac{1}{2}$，解得$b=-\frac{{{m^2}+2}}{{2{m^2}}}$②
將②代入①，得$\frac{1}{m^4}-\frac{1}{m^2}-\frac{3}{4}＜0$，
解得$m＜-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$或$m＞\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．                     
因此，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍$（-∞，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}）∪（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)和離心率公式，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，注意運(yùn)用對(duì)稱性，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．