Question

如圖；在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．
（1）如圖中與BA₁是異面直線的條數(shù)有．
（2）求BA₁與AD₁的所成角的大�。�
（3）求AE與BA₁的所成角的大�。�

Answer 1

解：（1）∵棱BC，BB₁，BA，A₁A，A₁D₁，A₁B₁與BA₁是相交，
∴與之是異面直線的棱有6條；
（2）連接BC₁，C₁A₁，則BC₁∥AD₁，
則∠BC₁A₁是BA₁與AD₁的所成角．
又△∠BC₁A₁是等邊三角形，則∠BC₁A₁=60度，
所求BA₁與AD₁的所成角的大小是60度．
（3）取DD₁的中點(diǎn)F，由E是CD的中點(diǎn)，則EF∥CD₁∥BA₁，
則∠FEA是AE與BA₁的所成角．
設(shè)AB=2，則AE=，EF=，AF=，
則cos∠FEA=．
即AE與BA₁的所成角的大小是arccos．
分析：（1）如圖，排除過(guò)點(diǎn)B，A₁的棱有關(guān)6條，沒(méi)有與它平行的棱，故還有6條．
（2）由BC₁∥AD₁，可知∠BC₁A₁是BA₁與AD₁的所成角，然后在△∠BC₁A₁是等邊三角形中求解．
（3）取DD₁的中點(diǎn)F，由中位線定理可知EF∥CD₁∥BA₁，從而∠FEA是AE與BA₁的所成角，然后在△AEF中求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角，解題思路是應(yīng)用異面直線所成角的定義，用平行線將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，是�？碱愋�，屬中檔題．