Question

1．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（4cosα，sinα），$\overrightarrow$=（sinβ，4cosβ），$\overrightarrow{c}$=（cosβ，-4sinβ）
（]）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求證：$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量垂直得出數(shù)量積為0，列出方程，使用三角函數(shù)恒等變換化簡；
（2）求出（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）²，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得出（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）²的最大值；
（3）根據(jù)tanαtanβ=16得出sinαsinβ=16cosαcosβ，故而$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$．

解答 解：（1）$\overrightarrow-2\overrightarrow{c}$=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），
若$\overrightarrow{a}⊥$（$\overrightarrow-2\overrightarrow{c}$），則$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-2\overrightarrow{c}）$=0，即4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0．
∴4cosαsinβ+4sinαcosβ-8cosαcosβ+8sinαsinβ=0，
即sin（α+β）=2cos（α+β），
∴tan（α+β）=2．
（2）$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）²=（sinβ+cosβ）²+（4cosβ-4sinβ）²=17-30sinβcosβ=17-15sin2β．
∴當(dāng)sin2β=-1時(shí)，（$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$）²取得最大值32．
∴|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|的最大值是4$\sqrt{2}$．
（3）∵tanαtanβ=16，∴sinαsinβ=16cosαcosβ．
∴16cosαcosβ-sinαsinβ=0．
∴$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與向量垂直，平行的關(guān)系，三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．