Question

5．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{b-{4}^{x}}{a+{4}^{x}}$是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷其單調(diào)性并加以證明；
（3）若對任意的t∈[-1，3]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{b-{4}^{x}}{a+{4}^{x}}$是奇函數(shù)．可得函數(shù)滿足f（0）=0，f（-1）=-f（1），可求a，b的值；
（2）分離后利用對數(shù)的單調(diào)性即可證明；
（3）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性化簡，分離參數(shù)，可求k的取值范圍．

解答 解：由題意，∵函數(shù)f（x）=$\frac{b-{4}^{x}}{a+{4}^{x}}$是在R上奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即b-1=0，可得：b=1
∵f（-1）=-f（1），
可得$\frac{1-4}{a+4}=-\frac{1-\frac{1}{4}}{a+\frac{1}{4}}$，
解得：a=1，
故得f（x）=$\frac{1-{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$．
那么f（-x）=$\frac{1-\frac{1}{{4}^{x}}}{1+\frac{1}{{4}^{x}}}=\frac{{4}^{x}-1}{{4}^{x}+1}=-f（x）$．
故a，b的值均為1．
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{1-{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$=$\frac{-（{4}^{x}+1）+2}{{4}^{x}+1}=-1+\frac{2}{{4}^{x}+1}$，
∵y=4^x+1是增函數(shù)，
故而函數(shù)y=$\frac{2}{{4}^{x}+1}$是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)．
（3）由（1）（2）可知函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，又是奇函數(shù)，
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為t²-2t＞k-2t²在t∈[-1，3]恒成立；
可得：3t²-2t＞k，
令y=3t²-2t，（-1≤t≤3）
開口向上，對稱軸t=$\frac{1}{3}$，
故而y_min=$3×\frac{1}{9}-\frac{2}{3}$=$-\frac{1}{3}$．
∴對任意的t∈[-1，3]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，k的取值范圍是（-∞，$-\frac{1}{3}$）．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用能力來解決含參數(shù)的恒成立問題．屬于中檔題．