Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²-x（a≠0）．
（1）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個不同的交點(diǎn)M、N，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過線段MN的中點(diǎn)作x軸的垂線分別與f（x）的圖象和g（x）的圖象交S、T點(diǎn)，以S為切點(diǎn)作f（x）的切線l₁，以T為切點(diǎn)作g（x）的切線l₂．是否存在實(shí)數(shù)a使得l₁∥l₂，如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由于F（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，可得F′（x）=

1

x

-2ax+1≤0在[1，+∞）上恒成立，即a≥

1

2

(

1

x

+

1

x2

)在[1，+∞）上恒成立．利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出即可．
（2）由f（x）=g（x）可得lnx=ax²-x，化為a=

lnx+x

x2

（x＞0）．令h（x）=

lnx+x

x2

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求出其極值與最值，數(shù)形結(jié)合即可得出；
（3）不妨設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，則MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．以S、T為切點(diǎn)的切線l₁，l₂的斜率分別為k_S=f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

，k_T=g′(

x1+x2

2

)=a（x₁+x₂）-1，假設(shè)k_S=k_T，可得

2(x1-x2)

x1+x2

=y₁-y₂=lnx₁-lnx₂，即

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

=ln

x1

x2

．令

x1

x2

=t＞1，可得lnt=

2(t-1)

t+1

=2-

4

t+1

，令u（t）=lnt+

4

t+1

-2，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷出．

解答： 解：（1）∵F（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴F′（x）=

1

x

-2ax+1≤0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

2

(

1

x

+

1

x2

)在[1，+∞）上恒成立．
令φ（x）=

1

2

(

1

x

+

1

x2

)，則φ（x）_max=φ（1）=1．
∴a的取值范圍是a≥1．
（2）由f（x）=g（x）可得lnx=ax²-x，化為a=

lnx+x

x2

（x＞0）．
令h（x）=

lnx+x

x2

，則h′（x）=

1-x-2lnx

x3

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，則h（x）單調(diào)遞增
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，則h（x）單調(diào)遞減，且

lnx+x

x2

＞0．
∴h（x）在x=1處取到最大值h（1）=1，
∴要使y=

lnx+x

x2

與y=a有兩個不同的交點(diǎn)，則有0＜a＜1．
（3）不妨設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，則MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
以S、T為切點(diǎn)的切線l₁，l₂的斜率分別為k_S=f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

，k_T=g′(

x1+x2

2

)=a（x₁+x₂）-1，
假設(shè)k_S=k_T，則a（x₁+x₂）-1=

2

x1+x2

，
∴a(

x

2 1

-

x

2 2

)-（x₁-x₂）=

2(x1-x2)

x1+x2

，
∴

2(x1-x2)

x1+x2

=y₁-y₂=lnx₁-lnx₂，化為

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

=ln

x1

x2

．
令

x1

x2

=t＞1，可得lnt=

2(t-1)

t+1

=2-

4

t+1

，
令u（t）=lnt+

4

t+1

-2，u′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴u（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴u（t）＞u（1）=0，
∴lnt=

2(t-1)

t+1

不成立，
因此不存在a使得l₁∥l₂．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、平行線與斜率的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、換元法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．