Question

已知各項(xiàng)均正的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=

1

2

（a_n²+a_n）
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)數(shù)列b_n=

1

anan+2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得{a_n}是以1為公差的等差數(shù)列，從而可求{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）利用裂項(xiàng)法，即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

解答：解：（1）∵2S_n=

1

2

（a_n²+a_n），2S_n+1=

1

2

（a_n+1²+a_n+1）
∴兩式相減可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均正，
∴a_n+1-a_n=1，
∴{a_n}是以1為公差的等差數(shù)列，
∵2S₁=

1

2

（a₁²+a₁），
∴a₁=1
∴a_n=n；
（2）b_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

n(3n+5)

2(n+1)(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．