Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都為2，AC∩BD=O，則棱AA₁與底面ABCD所成的角為60°，A₁O⊥平面ABCD，F(xiàn)為DC₁的中點．
（1）證明：BD⊥AA₁；
（2）證明：OF∥平面BCC₁B₁；
（3）求二面角D-AA₁-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證出BD與面A₁ACC₁內(nèi)的兩條相交直線AC，AA₁垂直，從而證得BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥AA₁
（2）先證出OF∥BC₁，再由線面平行的判定定理可證OF∥平面BCC₁B₁
（3）以O為坐標系的原點，分別以OA，OB，OA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出平面AA₁D的法向量，平面A₁ACC₁的法向量，通過兩法向量的夾角去解．
解答：解（1）因為棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都為2，
所以四邊形ABCD為菱形，BD⊥AC
又A₁O⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以A₁O⊥BD．
又因為AC∩A₁O=O，AC，A₁O?平面A₁ACC₁，
所以BD⊥平面A₁ACC₁，
因為AA₁?平面A₁ACC₁
所以BD⊥AA₁
（2）連接BC₁，因為四邊形ABCD為菱形，AC∩BD=O，
所以O是BD的中點
又因為點F為DC₁的中點，
所以在△DBC₁中，OF∥BC₁，
因為OF?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
所以OF∥平面BCC₁B₁
（3）以O為坐標系的原點，分別以OA，OB，OA₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．因為側(cè)棱AA₁與底面ABCD所成角為60°，A₁O⊥平面ABCD．
所以∠A₁AO=60°，在Rt△A₁AO中，可得，
在Rt△AOB中，.
設平面AA₁D的法向量為．

所以
因為=（-1，0，），．
∴，
可設，
又因為BD⊥平面A₁ACC₁，所以平面A₁ACC₁的法向量為，∴
因為二面角D-AA₁-C為銳角，
故二面角D-AA₁-C的余弦值是．
點評：本題考查直線和直線，直線和平面位置關(guān)系及其判定，二面角求解，考查轉(zhuǎn)化的思想方法（空間問題平面化）空間想象能力，計算能力．利用空間向量的知識，則使問題論證變成了代數(shù)運算，使人們解決問題更加方便．