Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2$\sqrt{5}$，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．圓E的圓心在橢圓C上，半徑為2．直線y=k₁x與直線y=k₂x為圓E的兩條切線．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試問：k₁•k₂是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，b=$\sqrt{5}$，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{5}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a²=20，b²=5，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)E（x₀，y₀），圓E的方程為：（x-x₀）²+（y-y₀）²=4，由直線y=k₁x與圓E：（x-x₀）²+（y-y₀）²=4相切，由點到直線的距離公式可知：$\frac{丨{k}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}}$=2，（x₀²-4）k₁²-2x₀y₀k₁+y₀²-4=0，同理可得：（x₀²-4）k₂²-2x₀y₀k₂+y₀²-4=0，因此k₁，k₂為方程（x₀²-4）x²-2x₀y₀x+y₀²-4=0的兩個根，由韋達定理可知：k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$，由E在橢圓上，則y₀²=5（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{20}$），代入即可求得k₁•k₂=-$\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，短軸長為2$\sqrt{5}$，則2b=2$\sqrt{5}$，即b=$\sqrt{5}$，
∵橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{5}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴1-$\frac{5}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，解得：a²=20，b²=5，…（2分）
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；…（4分）
（2）
設(shè)E（x₀，y₀），圓E的方程為：（x-x₀）²+（y-y₀）²=4，
由直線y=k₁x與圓E：（x-x₀）²+（y-y₀）²=4相切，
∴$\frac{丨{k}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{1+{k}_{1}^{2}}}$=2，…（6分）
整理得：（x₀²-4）k₁²-2x₀y₀k₁+y₀²-4=0，
同理可得：直線y=k₂x與圓E：（x-x₀）²+（y-y₀）²=4相切，
∴（x₀²-4）k₂²-2x₀y₀k₂+y₀²-4=0，
∴k₁，k₂為方程（x₀²-4）x²-2x₀y₀x+y₀²-4=0的兩個根…（8分）
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$，
又∵E（x₀，y₀），在橢圓$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$上，
∴y₀²=5（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{20}$）…（10分）
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{5（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{20}）-4}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$，
故k₁•k₂是定值，為-$\frac{1}{4}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式及韋達定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．