Question

已知a＞0，設命題p：函數y=a^x為減函數；命題q：當x∈[

1

2

，2]時，函數y=x+

1

x

＞

1

a

恒成立，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意得函數y=a^x為減函數所以0＜a＜1，當x∈[

1

2

，2]時函數y=x+

1

x

＞

1

a

恒成立則a＞

1

2

，因為p∨q為真命題，p∧q為假命題所以命題p與命題q一個是真一個是假，所以a的范圍是0＜a≤

1

2

或a≥1．

解答：解：由題意得
∵函數y=a^x為減函數
∴0＜a＜1
∵函數y=x+

1

x

，x∈[

1

2

，2]
∴函數的值域為[2，2.5]
∵函數y=x+

1

x

＞

1

a

恒成立
∴y_min＞

1

a

∴a＞

1

2

∵p∨q為真命題，p∧q為假命題
∴命題p與命題q一個是真一個是假
∴0＜a≤

1

2

或a≥1
所以a的取值范圍為(0，

1

2

]∪[1，+∞)．
故答案為(0，

1

2

]∪[1，+∞)．

點評：解決此類問題的方法是先假設簡單命題為真時求出參數的范圍然后根據復合命題的真假得出結論，最后用集合的知識取交集取并集．