【題目】已知等腰梯形中(如圖1),, , 為線段的中點, 為線段上的點, ,現(xiàn)將四邊形沿折起(如圖2).
圖1 圖2
⑴求證: 平面;
⑵在圖2中,若,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)連接,由可得,即可證∥且,然后即可證出四邊形為平行四邊形,進而可證明平面;(2)作于,連接,在中,可得,在中,可得,結合,推出,再由,推出平面,即可得到為與平面所成的角,再根據(jù)余弦定理得出,進而可求出的值,即直線與平面所成角的正弦值.
試題解析:(1)證明:連接
∵
∴
∴∥,且
又∵∥,且
∴∥,且
∴四邊形為平行四邊形
∴∥
又∵面, 面
∴∥面
(2)作于,連接,在中,易知,而
∴,
在中, ,易知
又∵
∴
在中, , ,
∴
∴
又∵, , 平面, 平面
∴平面
∴為在平面內(nèi)的射影
∴為與平面所成的角
在中,易知
∴
在中,
∴,即與平面的所成的角的正弦值為.
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【題目】如圖,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形, ,側棱,點分別為棱的中點, 的重心為,直線垂直于平面.
(1)求證:直線平面;
(2)求二面角的余弦.
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【題目】已知三棱錐A-BCD中,△ABC是等腰直角三角形,且AC⊥BC,BC=2,AD⊥平面BCD,AD=1.
(1)求證:平面ABC⊥平面ACD;
(2)若E為AB中點,求點A到平面CED的距離.
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【題目】已知點在圓上, 的坐標分別為, ,線段的垂直平分線交線段于點
(1)求點的軌跡的方程;
(2)設圓與點的軌跡交于不同的四個點,求四邊形的面積的最大值及相應的四個點的坐標.
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【題目】某市垃圾處理站每月的垃圾處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本(元)與月垃圾處理量(噸)之間的函數(shù)關系可近似地表示為,且每處理一噸垃圾得到可利用的資源值為100元.
(1)該站每月垃圾處理量為多少噸時,才能使每噸垃圾的平均處理成本最低?
(2)該站每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則需要市財政補貼,至少補貼多少元才能使該站不虧損?
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【題目】如圖,在四棱錐E-ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.
(I)求棱錐C-ADE的體積;
(II)求證:平面ACE⊥平面CDE;
(III)在線段DE上是否存在一點F,使AF∥平面BCE?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若在區(qū)間上的最大值為,求的值;
(2)當時,判斷方程是否有實根?若無實根請說明理由,若有實根請給出根的個數(shù).
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【題目】已知曲線的方程為(, 為常數(shù)).
(1)判斷曲線的形狀;
(2)設曲線分別與軸, 軸交于點, (, 不同于原點),試判斷的面積是否為定值?并證明你的判斷;
(3)設直線: 與曲線交于不同的兩點, ,且,求的值.
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