Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}對于確定的正整數(shù)m，若存在正整數(shù)n使得a_m+n=a_m+a_n成立，則稱數(shù)列{a_n}為“m階可分拆數(shù)列”．
（1）設(shè){a_n}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，證明{a_n}為“3階可分拆數(shù)列”；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為${S_n}={2^n}-a$（a＞0），若數(shù)列{a_n}為“1階可分拆數(shù)列”，求實數(shù)a的值；
（3）設(shè)${a_n}={2^n}+{n^2}+12$，試探求是否存在m使得若數(shù)列{a_n}為“m階可分拆數(shù)列”．若存在，請求出所有m，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）a_n=2n．可得a_3+n=a₃+a_n．即可證明{a_n}為“3階可分拆數(shù)列”．
（2）${S_n}={2^n}-a$（a＞0），a₁=S₁=2-a，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．根據(jù)數(shù)列{a_n}為“1階可分拆數(shù)列”，可得a_n+1=a₁+a_n，可得a．
（3）假設(shè)數(shù)列{a_n}為“m階可分拆數(shù)列”．可得a_m+n=a_m+a_n成立，化為（2^m-1）（2ⁿ-1）+2mn=13．對m，n分類討論即可得出．

解答 （1）證明：a_n=2+2（n-1）=2n．
則a_3+n=2×（3+n）=6+2n=a₃+a_n．
∴{a_n}為“3階可分拆數(shù)列”．
（2）解：${S_n}={2^n}-a$（a＞0），a₁=S₁=2-a，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-a-（2^n-1-a）=2^n-1．
∵數(shù)列{a_n}為“1階可分拆數(shù)列”，
∴a_n+1=a₁+a_n，∴2ⁿ=2-a+2^n-1，∴a=2-2^n-1．
令n=1時，a=1．
（3）解：假設(shè)數(shù)列{a_n}為“m階可分拆數(shù)列”．
則a_m+n=a_m+a_n成立，∴2^n+m+（n+m）²+12=2^m+m²+12+2ⁿ+n²+12，
化為：2^n+m+2mn=2^m+2ⁿ+12，
∴（2^m-1）（2ⁿ-1）+2mn=13．
可得：m=1，n=3；m=2，n不存在；m=3，n=1．m≥4時n不存在．
∴只有兩組：m=1，n=3；m=3，n=1．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、新定義、分類討論方法、數(shù)列通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．