Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，AA₁=AB=2．
（1）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（2）若四棱錐B-DAA₁C₁的體積為2，求二面角C-BC₁-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）證明AB₁∥平面BC₁D，可在平面BC₁D內(nèi)找到一條與AB₁平行的直線，而D為AC中點(diǎn)，可聯(lián)想連結(jié)B₁C，得到其中點(diǎn)O，由三角形的中位線定理可得要找的平行線，則問題得證；
（2）由給出的四棱錐的體積，求出BC的長(zhǎng)度，過D作BC的垂線DF，再由F作FG垂直于BC₁，連結(jié)DG找出要求的二面角的平面角，然后通過解直角三角形得到二面角C-BC₁-D的正切值．

解答：（1）證明如圖，

連接B₁C，設(shè)B₁C與BC₁相交于點(diǎn)O，連接OD，
∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，
∴點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)．
∵D為AC的中點(diǎn)，∴OD為△AB₁C的中位線．∴OD∥AB₁．
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D；
（2）解：∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC．
作BE⊥AC，垂足為E，則BE⊥平面AA₁C₁C，
∵AA₁=AB=2，設(shè)BC=x，則AC=A1C1=

4+x2

，
BE=

2x

4+x2

，
∴四棱錐B-DAA₁C₁的體積V=

1

3

×

1

2

(A1C1+AD)•AA1•BE
=

1

3

×

1

2

(

4+x2

+

4+x2

2

)×2×

2x

4+x2

=2．
解得，x=2．
所以D與E重合．
取BC中點(diǎn)F，連結(jié)DF，過F作FG⊥BC₁與G，連結(jié)DG，
則∠DGF為二面角C-BC₁-D的平面角．
由△BCC₁∽△BGF可求得GF=

2

2

．
所以tan∠DGF=

DF

GF

=

1

2 2

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，“尋找垂面，構(gòu)造垂線”是找二面角平面角的常用方法，此題是中檔題．