Question

已知橢圓：的右焦點，過原點和軸不重合的直線與橢圓 相交于，兩點，且，最小值為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若圓:的切線與橢圓相交于，兩點，當(dāng)，兩點橫坐標(biāo)不相等時，問：與是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 。

（Ⅱ）， 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)AB()F(c,0)則

        1分

所以有橢圓E的方程為         5分

（Ⅱ）由題設(shè)條件可知直線的斜率存在，設(shè)直線L的方程為y=kx+m

L與圓相切，∴∴       7分

L的方程為y=kx+m代入中得：

 令，

①  ②　

③        10分

∴               12分

考點：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運算。

點評：難題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）注意到直線斜率存在，通過聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達定理，計算向量的數(shù)量積為0，證得垂直關(guān)系。