Question

16．點(diǎn)A，B分別為圓M：x²+（y-3）²=1與圓N：（x-3）²+（y-8）²=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在直線x+y=0上運(yùn)動(dòng)，則|AC|+|BC|的最小值為7．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，算出圓M關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的圓M'方程為（x+3）²+y²=1．當(dāng)點(diǎn)P位于線段NM'上時(shí)，線段AB的長(zhǎng)就是|AC|+|BC|的最小值，由此結(jié)合對(duì)稱(chēng)的知識(shí)與兩點(diǎn)間的距離公式加以計(jì)算，即可得出|AC|+|BC|的最小值．

解答 解：設(shè)圓C'是圓M：x²+（y-3）²=1關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(chēng)的圓
可得M'（-3，0），圓M'方程為（x+3）²+y²=1，
可得當(dāng)點(diǎn)P位于線段NM'上時(shí)，線段AB長(zhǎng)是圓N與圓M'上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離最小值，
此時(shí)|AC|+|BC|的最小值為AB，
N（3，8），圓的半徑R=2，
∵|NM'|=$\sqrt{（-3-3）^{2}+{8}^{2}}$=10，
可得|AB|=|NM'|-R-r=10-2-1=7
因此|AC|+|BC|的最小值為7，
故答案為7．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線l與兩個(gè)定圓，求圓上兩個(gè)點(diǎn)A、B與直線l上動(dòng)點(diǎn)P的距離之和的最小值，著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．