Question

已知⊙O1：(x-1)2+y2=9，⊙O2：x2+y2-10x+m2-2m+17=0(m∈R)．
（Ⅰ）判斷⊙O₁和⊙O₂的位置關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)⊙O₂半徑最大時(shí)，（1）求⊙O₁和⊙O₂公共弦所在直線l₁的方程；
（2）設(shè)直線l₁交x軸于點(diǎn)F，拋物線C以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以F為焦點(diǎn)，直線l₂經(jīng)過（3，0）與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)∠AOB=α（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求α最大時(shí)cosα的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把兩個(gè)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)圓心距與兩個(gè)圓的半徑之間的關(guān)系，確定兩個(gè)圓的位置關(guān)系．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，⊙O₂半徑最大時(shí)的方程為（x-5）²+y²=9，它與⊙O1：(x-1)2+y2=9相交，將兩方程相減得公共弦所在直線l₁的方程．
（2）由（1）求得拋物線C的方程為y²=12x，若直線l₂⊥x軸，則|OA|=|OB|=3

5

，|AB|=12，由余弦定理求得cosα=-

3

5

．若直線l₂不與x軸垂直，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線
l₂的方程，并把它代入拋物線方程可得，ky²-12y-36k=0．利用韋達(dá)定理及兩個(gè)向量的夾角公式求得cosα≥-

3

5

，從而求得α最大時(shí)cosα的值．

解答：解：（Ⅰ） x²+y²-10x+m²-2m+17=0（m∈R）可以化簡成（x-5）²+y²=-（m-1）²+9，∴O₂（5，0），
又∵⊙O1：(x-1)2+y2=9，∴O₁（1，0），∴|O₁O₂|=4．
由條件可知-（m-1）²+9＞0，即-2＜m＜4，
∴

-(m-1)2+9

＜4-3=1?⊙O₁和⊙O₂相離，

-(m-1)2+9

=4-3=1?⊙O₁和⊙O₂外切，1＜

-(m-1)2+9

≤3?⊙O₁和⊙O₂相交．
所以，當(dāng)-2＜m＜1-2

2

或1+2

2

＜m＜4時(shí)，⊙O₁和⊙O₂相離，當(dāng)m=1-2

2

或m=1+2

2

時(shí)，⊙O₁和⊙O₂外切，
當(dāng)1-2

2

＜m＜1+2

2

時(shí)，⊙O₁和⊙O₂相交．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，⊙O₂半徑最大時(shí)的方程為（x-5）²+y²=9，它與⊙O1：(x-1)2+y2=9相交，
將兩方程相減得公共弦所在直線l₁的方程為：x=3．
（2）由（1）知F（3，0），∵拋物線C以F（3，0）為焦點(diǎn)，以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，∴拋物線C的方程為y²=12x．
若直線l₂⊥x軸，則|OA|=|OB|=3

5

，|AB|=12，
在△OAB中，由余弦定理得cosα=

|OA|2+|OB|2-|AB|2

2|OA|•|OB|

=

2(3 5 )2-122

2(3 5 )2

=-

3

5

．
若直線l₂不與x軸垂直，設(shè)直線l₂的方程為y=k（x-3）（k≠0），即x=

y

k

+3．
由方程組

x= y k +3 y2=12x

可得，ky²-12y-36k=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

12

k

，y1y2=-36，
∴x1+x 2=(

y1

k

+3)+(

y2

k

+3)=

y 1+y2

k

+6=

12

k2

+6，x1x2=

y 2 1 y 2 2

12×12

=9．
∴cosα=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

x1x2+y1y2

x 2 1 + y 2 1 • x 2 2 + y 2 2

=

-27

(x1x2)2+ x 2 1 y 2 2 + x 2 2 y 2 1 +(y1y2)2

=

-27

92+ x 2 1 •12x2+ x 2 2 •12x1+362

=-

27

92+12x1x2(x1+x2)+362

=-

27

92+12×9×( 12 k2 +6)+362

＞-

27

92+12×9×6+362

=-

3

5

．
綜上所述，cosα≥-

3

5

．
因?yàn)楹瘮?shù)y=cosx在（0，π）是減函數(shù)，所以α最大時(shí)cosα的值為-

3

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判定，求兩個(gè)圓的公共弦所在的直線方程，兩個(gè)向量的夾角公式，屬于中檔題．