Question

5．已知點P是銳角△ABC所在平面內(nèi)的動點，且滿足$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，給出下列四個命題：
①點P的軌跡是一條直線；
②$|\overrightarrow{CP}|=|\overrightarrow{CA}|$恒成立；
③$|\overrightarrow{CP}|≥|\overrightarrow{CA}|cosC$；
④存在點P使得$|\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PB}|=|\overrightarrow{CB}|$．
則其中真命題的序號為（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①由$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，得$\overrightarrow{CB}$⊥$\overrightarrow{AP}$，點P的軌跡是CB邊的高線所在的直線；
②由$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，得|$\overrightarrow{CP}$|cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞=|$\overrightarrow{CA}$|cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞，$|\overrightarrow{CP}|=|\overrightarrow{CA}|$不一定成立；
由cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞≤1，|$\overrightarrow{CP}$|cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞=|$\overrightarrow{CA}$|cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞，得$|\overrightarrow{CP}|≥|\overrightarrow{CA}|cosC$；
④$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{PB}$時，以PC、PB為鄰邊所作的平行四邊形是矩形，得|$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{CB}$|正確．

解答 解：對于①，由$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，得$\overrightarrow{CB}$•（$\overrightarrow{CP}$-$\overrightarrow{CA}$）=0，
∴$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AP}$=0，∴$\overrightarrow{CB}$⊥$\overrightarrow{AP}$，
∴點P的軌跡是CB邊的高線所在的直線，①正確；
對于②，由$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，
得|$\overrightarrow{CP}$|×|$\overrightarrow{CB}$|cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞=|$\overrightarrow{CA}$|×|$\overrightarrow{CB}$|cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞，
即|$\overrightarrow{CP}$|cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞=|$\overrightarrow{CA}$|cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞，
∴$|\overrightarrow{CP}|=|\overrightarrow{CA}|$不一定成立，②錯誤；
對于③，由cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞≤1，|$\overrightarrow{CP}$|cos＜$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}$＞=|$\overrightarrow{CA}$|cos＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$＞，
得$|\overrightarrow{CP}|≥|\overrightarrow{CA}|cosC$，③正確；
對于④，當(dāng)$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{PB}$時，以PC、PB為鄰邊所作的平行四邊形是矩形，
因此存在點P使|$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{CB}$|，④正確．
綜上，其中真命題的序號為①③④．
故選：D．

點評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量的平行四邊形法則、矩形的對角線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力，是綜合性題目．