Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-2x+2-k）e^x，k∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為e，求k的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+2-k）e^x=（x²-k）e^x，由k的取值范圍進行分類討論，利用導數(shù)的性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由k≤0，k≥1，0＜k＜1三種情況進行分類討論，利用導數(shù)性質(zhì)能求出k=2-e．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+2-k）e^x=（x²-k）e^x．（3分）
當k＜0時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
當k=0時，在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上f'（x）＞0，f'（0）=0，
函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．（5分）
當k＞0時，解f'（x）＞0，得x＞

k

，或x＜-

k

．
解f'（x）＜0，得-

k

＜x＜

k

．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，-

k

)和(

k

，+∞)上是增函數(shù)，
在區(qū)間(-

k

，

k

)上是減函數(shù)．
綜上，當k≤0時，（-∞，+∞）是函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
當k＞0時，(-∞，-

k

)和(

k

，+∞)是函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，
(-

k

，

k

)是函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（7分）
（Ⅱ）當k≤0時，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
所以f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（0），
依題意，f（0）=2-k=e，解得k=2-e，符合題意．（8分）
當

k

≥1，即k≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)．
所以f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f（1），
解f（1）=（1-k）e=e，得k=0，不符合題意．（9分）
當

k

＜1，即0＜k＜1時，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

k

]上是減函數(shù)，在區(qū)間[

k

，1]上是增函數(shù)．
所以f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(

k

)，（10分）
解f(

k

)=(2-2

k

)e

k

=e，即(2-2

k

)=e1-

k

，
設(shè)h（t）=e^t-2t，t∈（0，1），（11分）
h'（t）=e^t-2，則在區(qū)間（0，ln2）上h'（t）＜0，
在區(qū)間（ln2，1）上h'（t）＞0，
所以h（t）在區(qū)間（0，1）上的最小值為h（ln2），（12分）
又h（ln2）=e^ln2-2ln2=2-2ln2＞0，（13分）
所以e^t-2t=0在區(qū)間（0，1）上無解，
所以(2-2

k

)=e1-

k

在區(qū)間（0，1）上無解，（14分）
綜上，k=2-e．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．