Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

(x≠0，a∈R)
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性
（2）若a=1，證明：f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)．
（3）若f（x）在區(qū)間[2，+∞）是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）判斷f（x）的奇偶性可利用f（x）+f（-x）=0證明其為奇函數(shù)；
（2）先判斷出其在[2，+∞）上是增函數(shù)，再利用定義法證明．
（3）任取2≤x₁＜x₂，要是函數(shù)f（x）在x∈[2，+∞）是增函數(shù)，必須使f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立，即a＜x₁x₂恒成立由此即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點對稱
對于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f(-x)=-x+

a

-x

=-(x+

a

x

)=-f(x)
故f（x）為奇函數(shù)（5分）
（2）a=1，則f(x)=x+

1

x

任取2≤x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-1)（8分）
∵2≤x₁＜x₂∴x₁x₂＞4，x₁-x₂＜0，（x₁x₂-1）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[2，+∞）是增函數(shù)（10分）
（3）任取2≤x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1+

a

x1

)-(x2+

a

x2

)=

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-a)（12分）
要是函數(shù)f（x）在x∈[2，+∞）是增函數(shù)，必須使f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
即a＜x₁x₂恒成立（14分）
又∵x₁+x₂＞4，x₁x₂＞4∴a的取值范圍是（-∞，4]（16分）

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，求解本題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法以及函數(shù)單調(diào)性的證明方法定義法．屬于考查基本概念的題型．