Question

設橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上一點P到左準線的距離為10，F(xiàn)是該橢圓的左焦點，若點M滿足

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

），則|

OM

|=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)a²-b²=c²求出左焦點F的坐標，根據(jù)橢圓的準線公式x=-

a2

c

求出左準線方程，然后設P的坐標（x，y），根據(jù)兩點間的距離公式求出P到準線方程的距離讓其等于10求出x，然后再把x的值代入到橢圓方程中得到P的坐標，由

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

）得到M為PF的中點，根據(jù)中點坐標公式求出M的坐標，利用兩點間的距離公式求出|

OM

|即可．

解答：解：由橢圓

x2

25

+

y2

16

=1得a=5，b=4，
根據(jù)勾股定理得c=3，則左準線為x=-

25

3

，左焦點F（-3，0），
設P（x，y），因為P到左準線的距離為10，列出

|x+ 25 3 |

12+02

=10，
解得x=

5

3

或x=-

55

3

（舍去）；
又P在橢圓上，則將x=

5

3

代入到橢圓方程中求出y=±

8 2

3

，
所以點P（

5

3

，±

8 2

3

）；
由點M滿足

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

），則得M為PF中點，
根據(jù)中點坐標公式求得M（-

2

3

，±

4 2

3

），
所以|

OM

|=

(- 2 3 )2+(± 4 2 3 )2

=2
故答案為2．

點評：本題是一道綜合題，考查學生掌握橢圓的一些簡單性質(zhì)，會利用兩點間的距離公式及中點坐標公式、點到直線的距離公式化簡求值，同時也考查學生掌握向量的運用法則及向量模的求法，做題時要求學生知識面要寬，綜合運用數(shù)學知識解決問題．