Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BD₁∥平面AEC；
（2）求BC₁與平面ACC₁A₁所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BD，交AC于O，連結(jié)EO，由已知條件得OE∥BD₁，由此能證明BD₁∥平面AEC．
（2）由線面垂直得AA₁⊥BD，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，從而∠BC₁O是BC₁與平面ACC₁A₁所成的角，由此能求出BC₁與平面ACC₁A₁所成的角．

解答： （本題滿分13分）
（1）證明：連結(jié)BD，交AC于O，連結(jié)EO，
∵E，O分別是DD₁與BD的中點(diǎn)，
∴OE∥BD₁，
又∵OE在平面AEC內(nèi)，BD₁不在平面AEC內(nèi)，
∴BD₁∥平面AEC．
（2）解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，又正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴∠BC₁O是BC₁與平面ACC₁A₁所成的角，
設(shè)正方體棱長為a，Rt△BOC₁中，BO=

2

2

a，BC=

2

a，
∴BO=

1

2

BC，∴∠OC₁B=30°，
∴BC₁與平面ACC₁A₁所成的角為30°．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成的角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．