Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2tx+1，g（x）=blnx，其中b，t為實(shí)數(shù)
（1）若f（x）在區(qū)間[3，4]為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，討論函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）f（x）=x²-2tx+1的圖象是以直線x=t為對(duì)稱軸且開(kāi)口向上的拋物線，
所以當(dāng)t≤3時(shí)，函數(shù)在[3，4]單調(diào)遞增，…（4分）
當(dāng)t≥4時(shí)函數(shù)在[3，4]單調(diào)遞減，…（6分）
所以若f（x）在區(qū)間[3，4]為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍t≤3或t≥4…（7分）
（2）當(dāng)t=1時(shí)，
h（x）=f（x）+g（x）=x²-2x+1+blnx的定義域?yàn)椋?，+∞）…（8分）
h′（x）=2x-2+=，…（9分）
令g（x）=2x²-2x+b，x∈（0，+∞），
所以g（x）在（0，+∞）的符號(hào)與h′（x）在（0，+∞）的正負(fù)情況一致
①當(dāng)△=4-8b≤0時(shí)，即b≥時(shí)，則g（x）=2x²-2x+b≥0在（0，+∞）恒成立，所以h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)…（10分）
②當(dāng)△=4-8b＞0時(shí)，即b＜時(shí)，令方程g（x）=2x²-2x+b=0的兩根為x₁，x₂，且x₁=，x₂=…（11分）
（i）當(dāng)x₁=＞0，即0＜b＜時(shí)，
不等式g（x）=2x²-2x+b＞0解集為（0，）∪（，+∞），
g（x）=2x²-2x+b＜0解集為（，），
所以h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），（，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（，），…（12分）
（ii） 當(dāng)x₁=≤0，即b≤0時(shí)，
不等式g（x）=2x²-2x+b＞0解集為（，+∞），
g（x）=2x²-2x+b＜0解集為（0，），
所以h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（0，），…（13分）
綜上所述：當(dāng)b≥時(shí)，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)
當(dāng)0＜b＜時(shí)，h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），（，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（，）
當(dāng)b≤0時(shí)，h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（0，）…（14分）
分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，可以分析出函數(shù)圖象的形狀，由f（x）在區(qū)間[3，4]為單調(diào)函數(shù)，可得區(qū)間[3，4]完全在對(duì)稱軸一側(cè)，分類討論后，可得實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，求出函數(shù)h（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)，分類討論b在不同取值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可分析出函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，由于（2）中分類討論比較復(fù)雜，故難度中檔．