已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí)恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)若f(-3)=a,試用a表示f(24);
(3)若x>0時(shí)f(x)<0且f(1)=-
12
,試求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值與最小值.
分析:(1)令x=y=0,利用已知可得f(0)=0.再令y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,可得f(-x)=-f(x).
(2)利用奇函數(shù)的性質(zhì)由f(-3)=a=-f(3),可得f(3)=-a,進(jìn)而得到f(6)=2f(3),f(12)=2f(6),f(24)=2f(12).
(3)先利用定義證明f(x)在R上單調(diào)遞減.設(shè)x1<x2,則x2>x1,x2-x1>0.利用已知可得f(x2-x1)<0.進(jìn)而得到f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)<f(x1).即可.再利用f(1)=-
1
2
,可得f(2)=2f(1)=-1,利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(-2)=-f(2).再利用f(4)=2f(2),f(6)=f(4)+f(2)即可得出f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為f(-2),最小值為f(6).
解答:(1)證明:∵當(dāng)x,y∈R時(shí)恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
∴令x=y=0,則f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.
再令y=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)是奇函數(shù);
(2)解:∵f(-3)=a=-f(3),∴f(3)=-a,
∴f(6)=2f(3)=-2a,f(12)=2f(6)=-4a,f(24)=2f(12)=-8a.
(3)解:下面證明f(x)在R上單調(diào)遞減.
證明:設(shè)x1<x2,則x2>x1
∴x2-x1>0.∴f(x2-x1)<0.
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)<f(x1).
∴f(x2)<f(x1),∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減.
∵f(1)=-
1
2
,∴f(2)=2f(1)=-1,∴f(-2)=-f(2)=1.
∴f(4)=2f(2)=-2,f(6)=f(4)+f(2)=-2-1=-3.
∴f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為f(-2)=1,最小值為f(6)=-3.
點(diǎn)評(píng):本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、求值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求證:f(x)+f(-x)=0;
(2)若f(-3)=a,試用a表示f(24);
(3)如果x∈R時(shí),f(x)<0,且f(1)=-
12
,試求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x-1
(1)若f(x)為R上的奇函數(shù),則函數(shù)在R上的解析式為?
(2)若f(x)為R上的偶函數(shù),則函數(shù)在R上的解析式為?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x-1,若f(x)為R上的奇函數(shù),則函數(shù)在R上的解析式為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x),當(dāng)自變量由x0變化到x1時(shí)函數(shù)值的增量與相應(yīng)的自變量的增量比是函數(shù)(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案