Question

11．平面內(nèi)有一個(gè)△ABC和一點(diǎn)O（如圖），線段OA，OB，OC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，BC，CA，AB的中點(diǎn)分別為L(zhǎng)，M，N，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．
（1）試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{EL}$，$\overrightarrow{FM}$，$\overrightarrow{GN}$；
（2）證明：線段EL，F(xiàn)M，GN交于一點(diǎn)且互相平分．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的加法、數(shù)乘的幾何意義，以及向量加法的平行四邊形法則，并進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算便可得到$\overrightarrow{EL}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}（\overrightarrow+\overrightarrow{c}）=\frac{1}{2}（-\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）$，從而同理可以用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow，\overrightarrow{c}$分別表示出$\overrightarrow{FM}，\overrightarrow{GN}$；
（2）可連接EN，NL，LG，GE，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)及平行四邊形的定義便可得到四邊形NLGE為平行四邊形，從而對(duì)角線EL，GN交于一點(diǎn)且互相平分，而同理可證明EL，F(xiàn)M相交于一點(diǎn)且互相平分，從而便得出線段EL，F(xiàn)M，GN交于一點(diǎn)且互相平分．

解答 解：（1）$\overrightarrow{EL}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{OL}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$=$\frac{1}{2}（-\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）$；
同理，$\overrightarrow{FM}=\frac{1}{2}（-\overrightarrow+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）$，$\overrightarrow{GN}=\frac{1}{2}（-\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$；
（2）證明：如圖，連接EN，NL，LG，GE，根據(jù)條件，則：
NE∥BO，且$NE=\frac{1}{2}BO$，LG∥BO，且$LG=\frac{1}{2}BO$；
∴NE∥LG，且NE=LG；
∴四邊形NLGE為平行四邊形；
∴線段El，GN交于一點(diǎn)且互相平分；
同理，線段EL，F(xiàn)M交于一點(diǎn)且互相平分；
∴線段EL，F(xiàn)M，GN交于一點(diǎn)且互相平分．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的概念，平行四邊形的對(duì)角線相交于一點(diǎn)且互相平分．