Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率為

3

2

，短軸在y軸上且長(zhǎng)度大于1，定點(diǎn)A（0，

3

2

）到橢圓C點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為

7

，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（2a＞2b＞1）．由

c

a

=

3

2

可得a=2b．橢圓的方程可化為x²+4y²=4b²．設(shè)橢圓C上的任意一點(diǎn)P（x，y）．可得|PA|²=x2+(y-

3

2

)2=-3(y+

1

2

)2+4b²+3．由于b＞

1

2

，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（2a＞2b＞1）．
由

c

a

=

3

2

可得1-

b2

a2

=

3

4

，解得a=2b．
∴橢圓的方程可化為x²+4y²=4b²．
設(shè)橢圓C上的任意一點(diǎn)P（x，y）．
|PA|²=x2+(y-

3

2

)2=4b²-4y²+y2-3y+

9

4

=-3(y+

1

2

)2+4b²+3．
∵2b＞1，∴b＞

1

2

，
∴當(dāng)y=-

1

2

時(shí)，|PA|取得最大值

7

．
∴4b²+3=7，解得b=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．