分析 (1)在定義域(0,+∞)內(nèi)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),求其極大值,若是唯一極值點(diǎn),則極大值即為最大值.
(2)在定義域(0,+∞)內(nèi)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),對(duì)a進(jìn)行分類討論并判斷其單調(diào)性,根據(jù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的單調(diào)性求其最大值,并判斷其最大值是否為-3,若是就可求出相應(yīng)的最大值.
(3)先求導(dǎo),再求導(dǎo),得到g′(x)為增函數(shù),不妨令x2>x1,構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)+g(x1)−2g(x1+x2)(x>x1),利用導(dǎo)數(shù)即可證明
解答 解:(1)易知f(x)定義域?yàn)椋?,+∞),
當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=-x+lnx,{f^'}(x)=-1+\frac{1}{x}=\frac{1-x}{x},
令f′(x)=0,得x=1.
當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,
∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù).
f(x)max=f(1)=-1.
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的最大值為-1,
(2)∵{f^'}(x)=a+\frac{1}{x},x∈(0,e],\frac{1}{x}∈[\frac{1}{e},+∞).
①若a≥−1e,則f′(x)≥0,從而f(x)在(0,e]上是增函數(shù),
∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合題意,
②若a<−1e,則由{f^'}(x)>0⇒a+\frac{1}{x}>0,即0<x<−1a
由{f^'}(x)<0⇒a+\frac{1}{x}<0,即−1a<x≤e,
從而f(x)在(0,-1a)上增函數(shù),在(-1a,e]為減函數(shù)
∴f(x)max=f(−1a)=−1+ln(−1a)
令−1+ln(−1a)=−3,則ln(−1a)=−2,
∴a=-e2,
(3)證明:∵g(x)=xf(x)=ax2+xlnx,x>0
∴{g^'}(x)=2ax+1+lnx,{g^{''}}(x)=2a+\frac{1}{x}>0,
∴g′(x)為增函數(shù),不妨令x2>x1
令h(x)=g(x)+g(x1)−2g(x1+x2)(x>x1),
∴{h^'}(x)=g'(x)-{g^'}(\frac{{{x_1}+x}}{2}),
∵x>x1+x2,
∴{h^'}(x)=g'(x)-{g^'}(\frac{{{x_1}+x}}{2})>0
而h(x1)=0,知x>x1時(shí),h(x)>0
故h(x2)>0,
即2g(x1+x22)<g(x1)+g(x2)
點(diǎn)評(píng) 本題先通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo),求其極值,進(jìn)而在求其最值及值域,用到分類討論的思想方法,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4n | B. | 2n | C. | n | D. | 0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
非手機(jī)迷 | 手機(jī)迷 | 合計(jì) | |
男 | x | x | m |
女 | y | 10 | 55 |
合計(jì) | 75 | 25 | 100 |
P(k2≥x0) | 0.05 | 0.10 |
k0 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ?x0∈R,x30-x20+1<0 | B. | ?x∈R,x3-x2+1≤0 | ||
C. | ?x0∈R,x30-x20+1≤0 | D. | ?x∈R,x3-x2+1>0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | \frac{π}{4} | C. | \frac{π}{2} | D. | π |
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A. | 140種 | B. | 80種 | C. | 70種 | D. | 35種 |
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