Question

12．若a，b，c＞0，求證：
a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）≤a³+b³+c³+3abc．

Answer 1

分析 由a，b，c＞0，可設a≥b≥c，先由a³+abc-a²（b+c），分解因式可得a（a-b）（a-c）≥0，a³+abc≥a²（b+c）；同理可得b³+abc≥b²（a+c）；c³+abc≥c²（b+a），累加即可得證．

解答 證明：由a，b，c＞0，可設a≥b≥c，
由a³+abc-a²（b+c）=a（a²-ac+bc-ab）=a（a-b）（a-c）≥0，
可得a³+abc-a²（b+c）≥0，
即為a³+abc≥a²（b+c）；
同理可得b³+abc≥b²（a+c）；
c³+abc≥c²（b+a）．
累加可得a³+b³+c³+3abc≥a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b），
即有a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）≤a³+b³+c³+3abc．
取等號的條件是a=b=c．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用綜合法證明，運用累加法和作差法，以及不等式的性質，考查推理能力，屬于中檔題．