Question

在△ABC中，已知sin（+B）=．
（1）求tan2B的值；
（2）若cosA=，c=10，求△ABC的面積；
（3）若函數(shù)f（x）=，求f（C）+sin2C的值．

Answer 1

解：（1）∵sin（+B）=cosB=，
又B為三角形的內(nèi)角，
∴sinB==，
∴tanB==，
則tan2B===；
（2）∵cosA=，A為三角形的內(nèi)角，
∴sinA==，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，
又c=10，
∴==，即b==2，a==2，
則△ABC的面積S=bcsinA=×2×10×=10；
（3）∵f（x）==
==2cos²x+1-2=2cos²x-1=cos2x，
∴f（C）=cos2C，
又a=2，b=2，c=10，
∴cosC===-，
又C為三角形的內(nèi)角，∴C=，
則f（C）+sin2C=cos2C+sin2C=sin（2C+）=sin=-1．
分析：（1）利用誘導公式化簡已知的等式左邊，得到cosB的值，再由B為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinB的值，進而求出tanB的值，利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡tan2B后，將tanB的值代入即可求出tan2B的值；
（2）由cosA的值及A為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinA的值，再利用誘導公式得到sinC=sin（A+B），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡sin（A+B）后將各自的值代入求出sinC的值，再由c及sinB的值，利用正弦定理求出b的長，最后由b，c及sinA的值，即可求出三角形ABC的面積；
（3）將函數(shù)f（x）解析式的分子第一、三項結(jié)合，利用平方差公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，分子各項都除以分母，化簡合并后，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，得到最簡結(jié)果，然后將x=C代入函數(shù)解析式得到f（C），代入所求式子中，提取，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由第二問求出的a，b及c的值，利用余弦定理求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，進而求出這個角的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出所求式子的值．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，二倍角的正切、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及誘導公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．