Question

14．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，則該三角形有且僅有兩解；②若三角形的三邊的比是3：5：7，則此三角形的最大角為鈍角；③若△ABC為銳角三角形，且三邊長(zhǎng)分別為2，3，x，則x的取值范圍是$\sqrt{5}$$＜x＜\sqrt{13}$．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①根據(jù)正弦定理判斷得出sinA=$\frac{5\sqrt{3}}{7}$＞1不成立；
②設(shè)邊長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理得出最大角cosα=$\frac{9{x}^{2}+25{x}^{2}-49{x}^{2}}{30{x}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$＜0，
③設(shè)出角度，根據(jù)大邊對(duì)大角，只需判斷最大角為銳角即可．

解答 解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，
由正弦定理 $\frac{sinB}=\frac{a}{sinA}$可知，
$\frac{10}{sinA}=\frac{7}{sin60°}$，
所以sinA=$\frac{5\sqrt{3}}{7}$＞1，故錯(cuò)誤；
②若三角形的三邊的比是3：5：7，
根據(jù)題意設(shè)三角形三邊長(zhǎng)為3x，5x，7x，最大角為α，
由余弦定理得：cosα=$\frac{9{x}^{2}+25{x}^{2}-49{x}^{2}}{30{x}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
則最大角為120°，故正確；
③若△ABC為銳角三角形，且三邊長(zhǎng)分別為2，3，x，設(shè)所對(duì)角分別為A，B，C，
則最大角為B或C所對(duì)的角，
∴cosB=$\frac{4+{x}^{2}-9}{4x}$＞0，得是$\sqrt{5}$＜x，
cosC=$\frac{4+9-{x}^{2}}{12}$＞0，得x＜$\sqrt{13}$．
則x的取值范圍是$\sqrt{5}$$＜x＜\sqrt{13}$，故正確；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，根據(jù)題意，正確設(shè)出邊或角．