Question

9．如圖1，∠ACB=45°，BC=3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示）．記 BD=x，V（x）為三棱錐A-BCD的體積．

（1）求V（x）的表達式；
（2）設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{3}{x}V（x）+2x$，當x為何值時，f（x）取得最小值，并求出該最小值；
（3）當f（x）取得最小值時，設(shè)點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）先利用線面垂直的判定定理證明AD即為三棱錐A-BCD的高，再將三棱錐的體積表示為x的函數(shù)；
（2）由（1），利用配方法，即可得出結(jié)論；
（3）可先建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標和相關(guān)向量的坐標，設(shè)出動點N的坐標，先利用線線垂直的充要條件計算出N點坐標，從而確定N點位置，再求平面BMN的法向量，從而利用夾角公式即可求得所求線面角．

解答 解：（1）設(shè)BD=x，則CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V_A-BCD=V（x）=$\frac{1}{3}$×AD×S_△BCD=$\frac{1}{3}$×（3-x）×$\frac{1}{2}$×x（3-x）=$\frac{1}{6}$（x³-6x²+9x） x∈（0，3）；
（2）$f（x）=\frac{3}{x}V（x）+2x$=$\frac{1}{2}$（x-1）²+4，
∴x=1時，f（x）取得最小值4；
（3）以D為原點，建立如圖直角坐標系D-xyz，由（2）知，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0），且$\overrightarrow{BM}$=（-1，1，1）
設(shè)N（0，λ，0），則$\overrightarrow{EN}$=（-$\frac{1}{2}$，λ-1，0）
∵EN⊥BM，∴$\overrightarrow{EN}$•$\overrightarrow{BM}$=0
即（-1，1，1）•（-$\frac{1}{2}$，λ-1，0）=$\frac{1}{2}$+λ-1=0，∴λ=$\frac{1}{2}$，
∴N（0，$\frac{1}{2}$，0）
∴當DN=$\frac{1}{2}$時，EN⊥BM
設(shè)平面BMN的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BN}$=（-1，$\frac{1}{2}$，0）
∴得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{z=-x}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1）
設(shè)EN與平面BMN所成角為θ，則$\overrightarrow{EN}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{EN}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{-\frac{1}{2}-1}{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴θ=60°
∴EN與平面BMN所成角的大小為60°．

點評 本題主要考查了線面垂直的判定，折疊問題中的不變量，空間線面角的計算方法，空間向量、空間直角坐標系的運用，有一定的運算量，屬中檔題．